概率统计查阅用表

方便忘记的时候查阅用的表格。

常见名词

  • 伯努利实验:只有两种可能结果,且任一概率不为1,记为 $E$
  • n重伯努利试验:把一个伯努利试验在相同条件下做n次,记为 $E^n$
  • $k$阶原点矩:$E(X^k)$
    • 直接的期望
    • 数学期望是一阶原点矩
  • $k$阶中心矩:$E[X-E(X)]^k$
    • 去均值后的期望
    • 方差为二阶中心矩,$D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2$
    • 三阶中心矩衡量随机变量的分布是否有偏
    • 四阶中心矩衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度
  • $k$阶混合中心矩:$E\lbrace[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^k\rbrace$
    • 协方差为二阶混合中心矩

常见分布

离散变量

名称 记法 分布列 期望 方差
0-1分布 $$B(1,p),b(1,p)$$ $p$为1出现的概率 $$P\lbrace X=k\rbrace=p^kq^{1-k} $$$$k=0,1,…n$$ $$p$$ $$p(1-p)$$
二项分布 $$B(n,p),b(n,p)$$ $n$次实验,目标事件出现的概率为$p$ $$P\lbrace X=k\rbrace=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{1-k}$$$$k=0,1,…n$$ $$np$$ $$np(1-p)$$
几何分布 $$G(p)$$ 伯努利实验中,目标事件出现的概率为$p$,$X$为其第一次出现时实验次数 $$P\lbrace X=k\rbrace=q^{k-1}p$$$$k=1,2,…$$ $$\frac{1}{p}$$ $$\frac{1-p}{p^2}$$
超几何分布 $$H(n,M,N)$$ 不放回抽样时,共$N$件,有目标$M$,取$n$件,$X$为其中目标个数 $$P\lbrace X=m\rbrace=\frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$$$k=0,1,…n$$ $$n\frac{M}{n}$$ $$n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$$
泊松分布 $$P(\lambda)$$ 自然\工程许多随机变量(近似)服从,一般认为一定时间空间内出现的事件个数 $$P\lbrace X=k\rbrace=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$ $$\lambda$$ $$\lambda$$

连续变量

名称 记法 密度函数 期望 方差
均匀分布 $$U(a,b)$$ $$f(x)=\frac{1}{b-a}, a<x<b$$ $$f(x)=0,else $$ $$\frac{a+b}{2}$$ $$\frac{(b-a)^2}{12}$$
指数分布 $$E(\lambda)$$ $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0$$ $$f(x)=0, x<0$$ $$\frac{1}{\lambda}$$ $$\frac{1}{\lambda^2}$$
正态分布 $$N(\mu,\sigma^2)$$ $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$$ $$\mu$$ $$\sigma^2$$

二维变量

名称 记法 期望 方差
二维均匀分布
二维正态分布 $$N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho)$$

抽样分布

名称 记法 样本来自的总体的分布 随机变量
$\chi^2$ 分布 $$\chi^2$$ $$N(0,1)$$ $$\chi^2=X_1^2+…$$
$t$ 分布 $$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$ $$X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)$$
$F$ 分布 $$F=\frac{X/m}{Y/n}$$ $$X\sim \chi^2(m), Y\sim \chi^2(n)$$

注意

  • 总体方差$\sigma^2$的矩估计并非样本方差$S^2$,而是样本的二阶中心矩 $\hat{\sigma}^2=\frac{n-1}{n}S^2=S_n^2$
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