常见名词
- 伯努利实验:只有两种可能结果,且任一概率不为1,记为 $E$
- n重伯努利试验:把一个伯努利试验在相同条件下做n次,记为 $E^n$
- $k$阶原点矩:$E(X^k)$
- 直接的期望
- 数学期望是一阶原点矩
- $k$阶中心矩:$E[X-E(X)]^k$
- 去均值后的期望
- 方差为二阶中心矩,$D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2$
- 三阶中心矩衡量随机变量的分布是否有偏
- 四阶中心矩衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度
- $k$阶混合中心矩:$E\lbrace[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^k\rbrace$
- 协方差为二阶混合中心矩
常见分布
离散变量
名称 | 记法 | 分布列 | 期望 | 方差 |
---|---|---|---|---|
0-1分布 | $$B(1,p),b(1,p)$$ $p$为1出现的概率 | $$P\lbrace X=k\rbrace=p^kq^{1-k} $$$$k=0,1,…n$$ | $$p$$ | $$p(1-p)$$ |
二项分布 | $$B(n,p),b(n,p)$$ $n$次实验,目标事件出现的概率为$p$ | $$P\lbrace X=k\rbrace=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{1-k}$$$$k=0,1,…n$$ | $$np$$ | $$np(1-p)$$ |
几何分布 | $$G(p)$$ 伯努利实验中,目标事件出现的概率为$p$,$X$为其第一次出现时实验次数 | $$P\lbrace X=k\rbrace=q^{k-1}p$$$$k=1,2,…$$ | $$\frac{1}{p}$$ | $$\frac{1-p}{p^2}$$ |
超几何分布 | $$H(n,M,N)$$ 不放回抽样时,共$N$件,有目标$M$,取$n$件,$X$为其中目标个数 | $$P\lbrace X=m\rbrace=\frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$$$$k=0,1,…n$$ | $$n\frac{M}{n}$$ | $$n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$$ |
泊松分布 | $$P(\lambda)$$ 自然\工程许多随机变量(近似)服从,一般认为一定时间空间内出现的事件个数 | $$P\lbrace X=k\rbrace=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$ | $$\lambda$$ | $$\lambda$$ |
连续变量
名称 | 记法 | 密度函数 | 期望 | 方差 |
---|---|---|---|---|
均匀分布 | $$U(a,b)$$ | $$f(x)=\frac{1}{b-a}, a<x<b$$ $$f(x)=0,else $$ | $$\frac{a+b}{2}$$ | $$\frac{(b-a)^2}{12}$$ |
指数分布 | $$E(\lambda)$$ | $$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0$$ $$f(x)=0, x<0$$ | $$\frac{1}{\lambda}$$ | $$\frac{1}{\lambda^2}$$ |
正态分布 | $$N(\mu,\sigma^2)$$ | $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$$ | $$\mu$$ | $$\sigma^2$$ |
二维变量
名称 | 记法 | 期望 | 方差 |
---|---|---|---|
二维均匀分布 | |||
二维正态分布 | $$N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho)$$ |
抽样分布
名称 | 记法 | 样本来自的总体的分布 | 随机变量 |
---|---|---|---|
$\chi^2$ 分布 | $$\chi^2$$ | $$N(0,1)$$ | $$\chi^2=X_1^2+…$$ |
$t$ 分布 | $$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$ | $$X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)$$ | |
$F$ 分布 | $$F=\frac{X/m}{Y/n}$$ | $$X\sim \chi^2(m), Y\sim \chi^2(n)$$ |
注意
- 总体方差$\sigma^2$的矩估计并非样本方差$S^2$,而是样本的二阶中心矩 $\hat{\sigma}^2=\frac{n-1}{n}S^2=S_n^2$