概率统计查阅用表

概率统计查阅用表

方便忘记的时候查阅用的表格。

常见名词

伯努利实验：只有两种可能结果，且任一概率不为1，记为 $E$
n重伯努利试验：把一个伯努利试验在相同条件下做n次，记为 $E^n$
$k$ 阶原点矩： $E(X^k)$
- 直接的期望
- 数学期望是一阶原点矩
$k$ 阶中心矩： $E[X-E(X)]^k$
- 去均值后的期望
- 方差为二阶中心矩， $D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2$
- 三阶中心矩衡量随机变量的分布是否有偏
- 四阶中心矩衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度
$k$ 阶混合中心矩： $E\lbrace[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^k\rbrace$
- 协方差为二阶混合中心矩

常见分布

离散变量

名称	记法	分布列	期望	方差
0-1分布	$B(1,p),b(1,p)$ $p$ 为1出现的概率	$P\lbrace X=k\rbrace=p^kq^{1-k}$ $k=0,1,…n$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p),b(n,p)$ $n$ 次实验，目标事件出现的概率为 $p$	$P\lbrace X=k\rbrace=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{1-k}$ $k=0,1,…n$	$np$	$np(1-p)$
几何分布	$G(p)$ 伯努利实验中，目标事件出现的概率为 $p$ ， $X$ 为其第一次出现时实验次数	$P\lbrace X=k\rbrace=q^{k-1}p$ $k=1,2,…$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
超几何分布	$H(n,M,N)$ 不放回抽样时，共 $N$ 件，有目标 $M$ ，取 $n$ 件， $X$ 为其中目标个数	$P\lbrace X=m\rbrace=\frac{C_M^mC_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}$ $k=0,1,…n$	$n\frac{M}{n}$	$n\frac{M}{N}\frac{N-M}{N}\frac{N-n}{N-1}$
泊松分布	$P(\lambda)$ 自然\工程许多随机变量(近似)服从，一般认为一定时间空间内出现的事件个数	$P\lbrace X=k\rbrace=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$

连续变量

名称	记法	密度函数	期望	方差
均匀分布	$U(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a}, a<x<b$ $f(x)=0,else$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$E(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x\ge 0$ $f(x)=0, x<0$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$	$\mu$	$\sigma^2$

二维变量

名称	记法	期望	方差
二维均匀分布
二维正态分布	$N(\mu_1,\sigma_1^2,\mu_2,\sigma_2^2,\rho)$

抽样分布

名称	记法	样本来自的总体的分布	随机变量
$\chi^2$ 分布	$\chi^2$	$N(0,1)$	$\chi^2=X_1^2+…$
$t$ 分布	$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$	$X\sim N(0,1), Y\sim \chi^2(n)$
$F$ 分布	$F=\frac{X/m}{Y/n}$	$X\sim \chi^2(m), Y\sim \chi^2(n)$

注意

总体方差 $\sigma^2$ 的矩估计并非样本方差 $S^2$ ，而是样本的二阶中心矩 $\hat{\sigma}^2=\frac{n-1}{n}S^2=S_n^2$